Web サイトプロジェクトでジェネリックハンドラー（.ashx）を作成する際、コードビハインド形式では作成できないのですが、それは何故かについて書きます。（どうでもいい話かもしれませんが）
上の画像は Visual Studio 2010 のソリューションエクスプローラーから「新しい項目の追加」ダイアログを開いてジェネリックハンドラーを追加しようとしているところです。［別のファイルにコードを書き込む(P)］のオプションがグレーアウトされて選択できないのがわかるでしょうか？ そのまま作業を進めると、.ashx ファイルのみが生成されます。
一方、Web アプリケーションプロジェクトの場合は［別のファイルにコードを書き込む(P)］というようなオプションはそもそも表示されません（ジェネリックハンドラに限らず Web フォームなど他の項目も同様ですが）。自動的にコードビハインド形式になります（.ashx ファイルと .ashx.cs ファイルが作成されます）。
（注：Web アプリケーションプロジェクトと Web サイトプロジェクト の違いについては MSDN ライブラリの記事をリンクしたのでそこを見てください）
Web サイトプロジェクトでコードビハインド形式で作成できない理由が書いてある Microsoft の文書は見つけられなかったのですが、MSDN ライブラリ HTTP ハンドラの概要 のページの「ファイル名拡張子の作成」のセクションの以下の記述が関係ありそうです。
"ファイル名拡張子 .ashx に対応する HTTP ハンドラクラスを作成した場合、ハンドラは IIS と ASP.NET に自動的に登録されます。"
"ハンドラに対応するカスタムファイル名拡張子を作成する場合は、この拡張子を IIS と ASP.NET に明示的に登録する必要があります。"
引用文の前者がこの記事で言うジェネリックハンドラーのことで、HTTP ハンドラ本体（IHttpHandler を継承するクラス）とハンドラマッピング（@ WebHandler ディレクティブと Class 属性定義）を同一ファイル内に実装して .ashx という拡張子を付与し、IIS と ASP.NET に自動的に登録されるようにしたものです。
引用文の後者は、一般的な HTTP ハンドラのことで、HTTP ハンドラ本体を普通のクラスファイルに実装し、ソースコードのまま App_Code フォルダに置くか、コンパイルして dll を作って Bin フォルダに配置し、web.config にハンドラマッピングを定義するということになります。
つまり、ジェネリックハンドラーは、いちいち web.config にハンドラマッピングの定義を書かなくても、例えば <img src=handler.ashx ... /> のようにするだけで簡単に使えます。
コードビハインド形式にする（.ashx ファイルと .ashx.cs ファイルに分ける）のは取り扱いが面倒になるだなので、Web サイトプロジェクトでジェネリックハンドラーをコードビハインド形式で作成するオプションがないのだと思います。
Web アプリケーションプロジェクトではコード部分を分けざるを得ませので、選択の余地なく .ashx ファイルと .ashx.cs ファイルが分けて生成されます。ただし、Visual Studio からは .ashx.cs ファイルしか開けません（ファイルは存在しますが Visual Studio 上では開けません）。
以下は余談ですが、「コードビハインド」という呼び方について一言・・・
本来、HTML デザインブロックの背後にある ASP.NET 処理ブロック（.aspx.cs, .master.cs, .ascx.cs などに定義されるクラス）をコードビハンドと呼ぶようです。なので、.ashx ファイルの場合はコードビハンドという呼び方ではなく「HTTP ハンドラ本体」と言う方が適切かもしれません。
また、@ Page ディレクティブの CodeBehind 属性の説明を読むと "この属性は、以前のバージョンの ASP.NET との互換性を保持して、分離コード機能を実装するために用意されています。ASP.NET Version 2.0 では、代わりに CodeFile 属性を使用してソース ファイルの名前を指定すると同時に、Inherits 属性を使用してクラスの完全修飾名を指定します" とのことです。
@ WebHandler ディレクティブにも CodeBehind 属性はありますが、MSDN ライブラリによると "この属性は実行時には使用されません。この属性は、以前のバージョンの ASP.NET と互換性を保つために含まれています" とのことです。
なので「コードビハインド」という呼び方自体が古いのかもしれません。